Quotientenregel

\[ \begin{align} f(x)=\tan(x)& =\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\\ f'(x)=\tan'(x)& =\frac{\sin'(x)\cos(x)-\sin(x)\cos'(x)}{\cos^2(x)}\nonumber\\ & =\frac{\cos(x)\cos(x)-\sin(x)\cdot(-\sin(x))}{\cos^2(x)} \nonumber\\ & =\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\label{eq1}\\ & =\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} +\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\nonumber\\ & =1 +\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\nonumber\\ & =1 +\tan^2(x) \end{align} \] oder mit \(\sin^2+\cos^2=1\): \[ \begin{align} f'(x)& =\cot'(x)=\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)} =\frac{1}{\cos^2(x)} \end{align}\] und analog:\[ \begin{align} f(x)=\cot(x)& =\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\\ f'(x)=\cot'(x)& =\frac{-\sin(x)\sin(x)-\cos(x)\cos(x))}{\sin^2(x)} \nonumber\\ & =-\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^2(x)}\label{eq2}\\ & =-1 -\frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}\nonumber\\ & = -1 -\cot^2(x) \end{align}\] oder mit \(\sin^2+\cos^2=1\): \[ \begin{align} f'(x)& =\cot'(x)=-\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^2(x)} =-\frac{1}{\sin^2(x)} \end{align}\]

Natürlich kann man sich das auch auf Wolframalpha anschauen. Wer an dem dazugehörigen LaTeX-Code interessiert ist:

\begin{align}
 f(x)=\tan(x)
 &=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\\
 f'(x)=\tan'(x)
 &=\frac{\sin'(x)\cos(x)-\sin(x)\cos'(x)}{\cos^2(x)}\nonumber\\
 &=\frac{\cos(x)\cos(x)-\sin(x)\cdot(-\sin(x))}{\cos^2(x)}\nonumber\\
 &=\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\label{eq1}\\
 &=\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\nonumber\\
 &=1+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\nonumber\\
 &=1+\tan^2(x)
\end{align}
oder mit Gleichung (\ref{eq1}) und $\sin^2+\cos^2=1$:

\begin{align}
 f'(x)
 &=\tan'(x)=\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}
 =\frac{1}{\cos^2(x)}
\end{align}
und analog:
\begin{align}
 f(x)=\cot(x)
&=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\\
f'(x)=\cot'(x)
&=\frac{-\sin(x)\sin(x)-\cos(x)\cos(x))}{\sin^2(x)}\nonumber\\
&=-\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^2(x)}\label{eq2}\\
&=-1-\frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}\nonumber
\end{align}
oder mit Gleichung (\ref{eq2}) und $\sin^2+\cos^2=1$:

\begin{align}
f'(x)&=\cot'(x)=-\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\cos^2(x)}
=-\frac{1}{\sin^2(x)}
\end{align}

Man beachte dabei, dass die Gleichheitszeichen untereinander stehen (Umgebung: "align") und dass in "echtem" Latex (statt in HTML) die Gleichung zum Teil mit Verweisen nummeriert sind. Gerne mal ausprobieren.